数的产生

周舟　2018年31月08日发布

概括：这道题是倪温文同学的课后数学练习题，主要是关于数的产生，指导老师为融老师，下面是详细讲解。

题目：数的产生

解：

数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的,但是记数的符号却大小相同.

古罗马的数字相当进步,现在许多老式挂钟上还常常使用.

实际上,罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）.这7个符号位置上不论怎样变化,它所代表的数字都是不变的.它们按照下列规律组合起来,就能表示任何数：

1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次,就表示这个数的几倍.如："III"表示"3"；"XXX"表示"30".

2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号,就表示大数字加小数字,如"VI"表示"6","DC"表示"600".一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号,就表示大数字减去小数字的数目,如"IV"表示"4","XL"表示"40","VD"表示"495".

3．上加横线：在罗马数字上加一横线,表示这个数字的一千倍.如：""表示 "15,000",""表示"165,000".

我国古代也很重视记数符号,最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号,不过难写难认,后人没有沿用.到春秋战国时期,生产迅速发展,适应这一需要,我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算.筹算用的算筹是竹制的小棍,也有骨制的.按规定的横竖长短顺序摆好,就可用来记数和进行运算.随着筹算的普及,算筹的摆法也就成为记数的符号了.算筹摆法有横纵两式,都能表示同样的数字.

数的产生

从算筹数码中没有"10"这个数可以清楚地看出,筹算从一开始就严格遵循十位进制.9位以上的数就要进一位.同一个数字放在百位上就是几百,放在万位上就是几万.这样的计算法在当时是很先进的.因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末.但筹算数码中开始没有"零",遇到"零"就空位.比如"6708",就可以表示为"┴ ╥ ".数字中没有"零",是很容易发生错误的.所以后来有人把铜钱摆在空位上,以免弄错,这或许与"零"的出现有关.不过多数人认为,"0"这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人.他们最早用黑点（·）表示零,后来逐渐变成了"0".

说起"0"的出现,应该指出,我国古代文字中,"零"字出现很早.不过那时它不表示"空无所有",而只表示"零碎"、"不多"的意思.如"零头"、"零星"、"零丁"."一百零五"的意思是：在一百之外,还有一个零头五.随着阿拉数字的引进."105"恰恰读作"一百零五","零"字与"0"恰好对应,"零"也就具有了"0"的含义.

如果你细心观察的话,会发现罗马数字中没有"0".其实在公元5世纪时,"0"已经传入罗马.但罗马教皇凶残而且守旧.他不允许任何使用"0".有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用"0"的一些好处和说明,就被教皇召去,施行了拶（zǎn）刑,使他再也不能握笔写字.

但"0"的出现,谁也阻挡不住.现在,"0"已经成为含义最丰富的数字符号."0"可以表示没有,也可以表示有.如：气温0℃,并不是说没有气温；"0"是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的0次幂等于1；0!=1（零的阶乘等于1）.

除了十进制以外,在数学萌芽的早期,还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法.在长期实际生活的应用中,十进制最终占了上风.

现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0,人们称之为阿拉伯数字.实际上它们是古代印度人最早使用的.后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去,又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲,逐渐演变成今天的阿拉伯数字.

数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果.

随着生产、生活的需要,人们发现,仅仅能表示自然数是远远不行的.如果分配猎获物时,5个人分4件东西,每个人人该得多少呢?于是分数就产生了.中国对分数的研究比欧洲早1400多年!自然数、分数和零,通称为算术数.自然数也称为正整数.

随着社会的发展,人们又发现很多数量具有相反的意义,比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西.为了表示这样的量,又产生了负数.正整数、负整数和零,统称为整数.如果再加上正分数和负分数,就统称为有理数.有了这些数字表示法,人们计算起来感到方便多了.

但是,在数字的发展过程中,一件不愉快的事发生了.让我们回到大经贸部2500年前的希腊,那里有一个毕达哥拉斯学派,是一个研究数学、科学和哲学的团体.他们认为"数"是万物的本源,支配整个自然界和人类社会.因此世间一切事物都可归结为数或数的比例,这是世界所以美好和谐的源泉.他们所说的数是指整数.分数的出现,使"数"不那样完整了.但分数都可以写成两个整数之比,所以他们的信仰没有动摇.但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时,发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它.如果设这个数为X,既然,推导的结果即x2=2.他画了一个边长为1的正方形,设对角线为x ,根据勾股定理x2=12+12=2,可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数,这个数肯定是存在的.可它是多少?又该怎样表示它呢?希帕索斯等人百思不得其解,最后认定这是一个从未见过的新数.这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊,动摇了他们哲学思想的核心.为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌,他们规定对新数的发现要严守秘密.而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去.据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼.然而真理是藏不住的.人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数,如圆周率就是最重要的一个.人们把它们写成 π、等形式,称它们为无理数.

有理数和无理数一起统称为实数.在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度.这时人类的历史已进入19世纪.许多人认为数学成就已经登峰造极,数字的形式也不会有什么新的发现了.但在解方程的时候常常需要开平方如果被开方数负数,这道题还有解吗?如果没有解,那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁.于是数学家们就规定用符号"i "表示"-1"的平方根,即i＝,虚数就这样诞生了."i "成了虚数的单位.后人将实数和虚数结合起来,写成 a＋bi的形式（a、b均为实数）,这就是复数.在很长一段时间里,人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量,所以虚数总让人感到虚无缥缈.随着科学的发展,虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用,在掌握和会使用虚数的科学家眼中,虚数一点也不"虚"了.

数的概念发展到虚和复数以后,在很长一段时间内,连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了,数学家族的成员已经都到齐了.可是1843年10月16日,英国数学家哈密尔顿又提出了"四元数"的概念.所谓四元数,就是一种形如的数.它是由一个标量（实数）和一个向量（其中x 、y 、z 为实数）组成的.四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用.与此同时,人们还开展了对"多元数"理论的研究.多元数已超出了复数的范畴,人们称其为超复数.

由于科学技术发展的需要,向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生,把数学研究推向新的高峰.这些概念也都应列入数字计算的范畴,但若归入超复数中不太合适,所以,人们将复数和超复数称为狭义数,把向量、张量、矩阿等概念称为广义数.尽管人们对数的归类法还有某些分歧,但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的.到目前为止,数的家庭已发展得十分庞大.

举一反三

例1：【数的发展史和历史有关数的来源,数悠久的历史和文化,数在这些历史中漂泊时的故事】

思路提示：

人类是动物进化的产物,最初也完全没有数量的概念.但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步.这样,在漫长的生活实践中,由于记事和分配生活用品等方面的需要,才逐渐产生了数的概念.比如捕获了一头野兽,就用1块石子代表.捕获了3头,就放3块石子."结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事.我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载.传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数.用利器在树皮上或兽皮上刻痕,或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法.这些办法用得多了,就逐渐形成数的概念和记数的符号. 数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的,但是记数的符号却大小相同. 古罗马的数字相当进步,现在许多老式挂钟上还常常使用. 实际上,罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）.这7个符号位置上不论怎样变化,它所代表的数字都是不变的.它们按照下列规律组合起来,就能表示任何数： 1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次,就表示这个数的几倍.如："III"表示"3"；"XXX"表示"30". 2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号,就表示大数字加小数字,如"VI"表示"6","DC"表示"600".一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号,就表示大数字减去小数字的数目,如"IV"表示"4","XL"表示"40","VD"表示"495". 3．上加横线：在罗马数字上加一横线,表示这个数字的一千倍.如：""表示 "15,000",""表示"165,000". 我国古代也很重视记数符号,最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号,不过难写难认,后人没有沿用.到春秋战国时期,生产迅速发展,适应这一需要,我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算.筹算用的算筹是竹制的小棍,也有骨制的.按规定的横竖长短顺序摆好,就可用来记数和进行运算.随着筹算的普及,算筹的摆法也就成为记数的符号了.算筹摆法有横纵两式,都能表示同样的数字. 从算筹数码中没有"10"这个数可以清楚地看出,筹算从一开始就严格遵循十位进制.9位以上的数就要进一位.同一个数字放在百位上就是几百,放在万位上就是几万.这样的计算法在当时是很先进的.因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末.但筹算数码中开始没有"零",遇到"零"就空位.比如"6708",就可以表示为"┴╥ ".数字中没有"零",是很容易发生错误的.所以后来有人把铜钱摆在空位上,以免弄错,这或许与"零"的出现有关.不过多数人认为,"0"这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人.他们最早用黑点（·）表示零,后来逐渐变成了"0". 说起"0"的出现,应该指出,我国古代文字中,"零"字出现很早.不过那时它不表示"空无所有",而只表示"零碎"、"不多"的意思.如"零头"、"零星"、"零丁"."一百零五"的意思是：在一百之外,还有一个零头五.随着阿拉数字的引进."105"恰恰读作"一百零五","零"字与"0"恰好对应,"零"也就具有了"0"的含义. 如果你细心观察的话,会发现罗马数字中没有"0".其实在公元5世纪时,"0"已经传入罗马.但罗马教皇凶残而且守旧.他不允许任何使用"0".有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用"0"的一些好处和说明,就被教皇召去,施行了拶（zǎn）刑,使他再也不能握笔写字. 但"0"的出现,谁也阻挡不住.现在,"0"已经成为含义最丰富的数字符号."0"可以表示没有,也可以表示有.如：气温0℃,并不是说没有气温；"0"是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的0次幂等于1；0!=1（零的阶乘等于1）. 除了十进制以外,在数学萌芽的早期,还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法.在长期实际生活的应用中,十进制最终占了上风. 现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0,人们称之为阿拉伯数字.实际上它们是古代印度人最早使用的.后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去,又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲,逐渐演变成今天的阿拉伯数字. 数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果. 随着生产、生活的需要,人们发现,仅仅能表示自然数是远远不行的.如果分配猎获物时,5个人分4件东西,每个人人该得多少呢?于是分数就产生了.中国对分数的研究比欧洲早1400多年!自然数、分数和零,通称为算术数.自然数也称为正整数. 随着社会的发展,人们又发现很多数量具有相反的意义,比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西.为了表示这样的量,又产生了负数.正整数、负整数和零,统称为整数.如果再加上正分数和负分数,就统称为有理数.有了这些数字表示法,人们计算起来感到方便多了. 但是,在数字的发展过程中,一件不愉快的事发生了.让我们回到大经贸部2500年前的希腊,那里有一个毕达哥拉斯学派,是一个研究数学、科学和哲学的团体.他们认为"数"是万物的本源,支配整个自然界和人类社会.因此世间一切事物都可归结为数或数的比例,这是世界所以美好和谐的源泉.他们所说的数是指整数.分数的出现,使"数"不那样完整了.但分数都可以写成两个整数之比,所以他们的信仰没有动摇.但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时,发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它.如果设这个数为X,既然,推导的结果即x2=2.他画了一个边长为1的正方形,设对角线为x ,根据勾股定理x2=12+12=2,可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数,这个数肯定是存在的.可它是多少?又该怎样表示它呢?希帕索斯等人百思不得其解,最后认定这是一个从未见过的新数.这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊,动摇了他们哲学思想的核心.为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌,他们规定对新数的发现要严守秘密.而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去.据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼.然而真理是藏不住的.人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数,如圆周率就是最重要的一个.人们把它们写成 π、等形式,称它们为无理数. 有理数和无理数一起统称为实数.在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度.这时人类的历史已进入19世纪.许多人认为数学成就已经登峰造极,数字的形式也不会有什么新的发现了.但在解方程的时候常常需要开平方如果被开方数负数,这道题还有解吗?如果没有解,那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁.于是数学家们就规定用符号"i "表示"-1"的平方根,即i＝,虚数就这样诞生了."i "成了虚数的单位.后人将实数和虚数结合起来,写成 a＋bi的形式（a、b均为实数）,这就是复数.在很长一段时间里,人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量,所以虚数总让人感到虚无缥缈.随着科学的发展,虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用,在掌握和会使用虚数的科学家眼中,虚数一点也不"虚"了. 数的概念发展到虚和复数以后,在很长一段时间内,连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了,数学家族的成员已经都到齐了.可是1843年10月16日,英国数学家哈密尔顿又提出了"四元数"的概念.所谓四元数,就是一种形如的数.它是由一个标量（实数）和一个向量（其中x 、y 、z 为实数）组成的.四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用.与此同时,人们还开展了对"多元数"理论的研究.多元数已超出了复数的范畴,人们称其为超复数. 由于科学技术发展的需要,向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生,把数学研究推向新的高峰.这些概念也都应列入数字计算的范畴,但若归入超复数中不太合适,所以,人们将复数和超复数称为狭义数,把向量、张量、矩阿等概念称为广义数.尽管人们对数的归类法还有某些分歧,但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的.到目前为止,数的家庭已发展得十分庞大

例2：【数的发展历史】[语文练习题]

思路提示：

　　数的诞生

　　数学——自然科学之父,起源于用来计数的自然数的伟大发明.

　　若干年以前,人类的祖先为了生存,往往几十人在一起,过着群居的生活.他们白天共同劳动,搜捕野兽、飞禽或采集果薯食物；晚上住在洞穴里,共同享用劳动所得.在长期的共同劳动和生活中,他们之间逐渐到了有些什么非说不可的地步,于是产生了语言.他们能用简单的语言夹杂手势,来表达感情和交流思想.随着劳动内容的发展,他们的语言也不断发展,终于超过了一切其他动物的语言.其中的主要标志之一,就是语言包含了算术的色彩

　　人类先是产生了“数”的朦胧概念.他们狩猎而归,猎物或有或无,于是有了“有”与“无”两个概念.连续几天“无”兽可捕,就没有肉吃了,“有”、“无”的概念便逐渐加深.

　　后来,群居发展为部落.部落由一些成员很少的家庭组成.所谓“有”,就分为“一”、“二”、“三”、“多”等四种（有的部落甚至连“三”也没有）.任何大于“三”的数量,他们都理解为“多”或者“一堆”、“一群”.有些酋长虽是长者,却说不出他捕获过多少种野兽,看见过多少种树,如果问巫医,巫医就会编造一些词汇来回答“多少种”的问题,并煞有其事地吟诵出来.然而,不管怎样,他们已经可以用双手说清这样的话（用一个指头指鹿,三个指头指箭）：“要换我一头鹿．你得给我三枝箭.”这是他们当时没有的算术知识.

　　大约在1万年以前,冰河退却了.一些从事游牧的石器时代的狩猎者在中东的山区内,开始了一种新的生活方式——农耕生活.他们碰到了怎样的记录日期、季节,怎样计算收藏谷物数、种子数等问题.特别是在尼罗河谷、底格里斯河与幼发拉底河流域发展起更复杂的农业社会时,他们还碰到交纳租税的问题.这就要求数有名称.而且计数必须更准确些,只有“一”、“二”、“三”、“多”,已远远不够用了.

　　底格里斯河与幼发拉底河之间及两河周围,叫做美索不达米亚,那儿产生过一种文化,与埃及文化一样,也是世界上最古老的文化之一.美索不达米亚人和埃及人虽然相距很远,但却以同样的方式建立了最早的书写自然数的系统——在树木或者石头上刻痕划印来记录流逝的日子.尽管数的形状不同,但又有共同之处,他们都是用单划表示“一”.

　　后来（特别是以村寨定居后）,他们逐渐以符号代替刻痕,即用1个符号表示1件东西,2个符号表示2件东西,依此类推,这种记数方法延续了很久.大约在5000年以前,埃及的祭司已在一种用芦苇制成的草纸上书写数的符号,而美索不达米亚的祭司则是写在松软的泥板上.他们除了仍用单划表示“－”以外,还用其它符号表示“＋”或者更大的自然数；他们重复地使用这些单划和符号,以表示所需要的数字.

　　公元前1500年,南美洲秘鲁印加族（印第安人的一部分）习惯于“结绳记数”——每收进一捆庄稼,就在绳子上打个结,用结的多少来记录收成.“结”与痕有一样的作用,也是用来表示自然数的.根据我国古书《易经》的记载,上古时期的中国人也是“结绳而治”,就是用在绳上打结的办法来记事表数.后来又改为“书契”,即用刀在竹片或木头上刻痕记数．用一划代表“一”.直到今天,我们中国人还常用“正”字来记数．每一划代表“一”.当然,这个“正”字还包含着“逢五进一”的意思.

例3：【数的发展历程】[数学练习题]

思路提示：

分数分别产生于测量及计算过程中.在测量过程中,它是整体或一个单位的一部份；而在计算过程中,当两个数（整数）相除而除不尽的时候,便得到分数.

一般可分为五期：

上古期：（2700B.C.~200B.C.）对数学有所创见的有伏羲氏、黄帝、隶首、缍等人.其成就归纳如下：

1. 结绳：最古的记数方法,传为伏羲所创.

2. 书器：一种最古的记数工具,传为隶首所创.

3. 河图,洛书：相传分别为伏羲、夏禹所作,是为最初的魔方阵.

4. 八卦：传为周公所创,是最初的二进制法.

5. 规矩：传为伏羲或缍所创,用以作方圆,测量田地与勘测水道.

6. 几何图案：在金石陶器、石器时代的陶片、周秦时代的彝器已有简单的几何图形出现,其种类不下数十种.

7. 九九：即个位数乘法表,传为伏羲所创.古代数学家以九九之术作为初等数学的代表.

8. 技术方法：当时是以累积之方法记数,已有百……亿,兆等大数产生,都是以十进制的；也已有分数的产生.当时盛行的筹算,演变为后来的珠算术.

9. 算学教育：周朝时,把算数列为六艺之一,再小学时就受以珠算.

初等数学在此时期已有相当基础,算数与几何由于人类实际生活的需要已初步形成,但并无形成一定逻辑关联的系统.

中古期：（200B.C.~600A.D.由汉至隋）中国数学家对于算学已有可考据的著作.

1. 而对圆周率寄算最有成就者为祖冲之.所得结果比之西方早一千多年.

2. 算经十书的编篡：

算经十书为：周髀,九章算术,孙子算经,张丘健算经,夏侯阳算经,五曹算经,海岛算经,五经算术,辑古算经及缀术,后因缀术亡失,而已数术记遗代之；其中辑古算经在唐朝才完成.此时期的数学成就,可以从这十本算经中之其概略.数学成就可归纳为以下各点：

（1）分数论的应用

（2）整数勾股形的计算

(3) 平方零约数：已建立开方的方法有两种

（4）方程论：已有联立一次方程的解法.九章算数方程章为世界最早包含不只一个未知数的算式和联立方程组概念,并产生了正负数的概念.

（5）平面立体形的计算：一切直线图的面积和体积公式皆正确；圆面积、球体积为近似公式

（6）级数论上的成就：已有等差、等比问题产生.

（7）数论上的成就：孙子算经上的「物不知数」是一次同余式问题,由此以后所推广的中国剩余定理比西洋早了一千多年.

（8）数学教育制度的建立

近古期：（600A.D.~1367A.D.由唐到宋元）

分为前后两期,各以唐及宋元为代表.可以说是中国数学史的黄金时代；数学教育制度更臻完善,民间研究数学的风气很盛.数学成就归纳如下：

(1) 代数学上的成就：中国古代数学家很早就知道利用代数方法解决实际问题；这时期天元术的产生促使代数学向前发展,使其成为更完整的数学体系.其它数学也获得更进一步的发展.数学家们掌握天元术之后,很快地把它应用到多元高次方程组而产生所谓的四元术；并利用天元术开方.开方数也推广到多乘方,比西洋数学家的发现早约五百年.求数学高次方程的正根方法也已建立起理论根据.

(2) 几何学与三角学的成就：割圆术得到进一步的推广,除了平面割圆术外,球面割圆术也已产生,球面三角由此而初步建立起来.

(3) 数论上的成就：一次同余的理论基础扩大了应用范围,有八次联立一次同余式的问题出现,在整数论上是一个伟大的成就.所用解一次同余式的方法为有名的辗转相除法,即西方数学家所谓欧几里得算法.

(4) 级数论上的成就：级数论在世界数学史上有着悠久的历史,中算家所论述的在此中占有一定位子.由高阶等差级数研究中发明了招差数、垛积数.

(5) 纵横图说的研究：一些有名的纵横图（所谓方阵图）已经产生.

由以上所述,可以看出,有系统的代数学已建立起来,更多的数学方法与数学概念也得到更进一步的推广与发展.

婆罗门、天竺数学输入中国,但中国的数学并没有受到影响；同时中国的数学也输入了百济和日本.

近世纪：（1367A.D.~1750A.D.明初到清初）

为中国算学衰落时期,统治者对数学教育不注重,民间研习数学风气不盛.

回回历法在元末明初输入中国,至明末,应用回回历法已近尾声.自利玛窦至中国之后,西洋历法、西洋数学也随之输入中国.当时还有人研究中算,但由于中算不如西算的简明有系统,故中国古算陷入停顿状态而得不到新的发展.

西洋数学输入的有笔算、筹算、代数学、对数术、几何学、平面及球面三角术、三角函数表、比例对数表、割圆术及圆锥曲线说.

著名的天元术停滞不前,珠算随着实际生活的需要而产生,很多有关珠算实用算数书陆续出版；珠算术的发明是中算的革命、我国的伟大成就.

清初的一些大数学家都致力于西洋数学的研究,编写了数学各科的入门书籍.中国数学输入朝鲜及把元明数学输入日本.

最近世期：（1750A.D.~1910A.D.清干隆三十七到清末）

西算输入告一段落.这时学术潮流偏向古典考证一路发展,数学研究也转到古代数学方面去,对算经十书与宋元算书加以传刻与研讨到达最高峰.当时数学家很多都能兼通中西数学,在高等数学方面获得相当的成就.

对圆周率解析法作深入的探讨,级数论、方程论及数论得到进一步的研究,理论更臻完善.对中算史加以研究与着成专书.数学教育制度重新建立起来.此期末,西方数学第二次输入中国,以补中算的不足,中国数学在此又进入另一阶段.

例4：数的产生及发展历史是什么?[语文练习题]

思路提示：

人类是动物进化的产物,最初也完全没有数量的概念. 但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步 .这样,在漫长的生活实践中, 由于记事和分配生活用品等方面的需要,才逐渐产生了数的概念. 比如捕获了一头野兽,就用1块石子代表.捕获了3头, 就放3块石子."结绳记事" 也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事.我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载. 传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数. 用利器在树皮上或兽皮上刻痕, 或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法.这些办法用得多了, 就逐渐形成数的概念和记数的符号. 数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4…… 这样的自然数开始的,但是记数的符号却大小相同. 古罗马的数字相当进步,现在许多老式挂钟上还常常使用. 实际上,罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、 D（代表500）、M（代表1,000）. 这7个符号位置上不论怎样变化,它所代表的数字都是不变的. 它们按照下列规律组合起来,就能表示任何数： 1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次,就表示这个数的几倍. 如："III"表示"3"；"XXX"表示"30". 2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号, 就表示大数字加小数字,如"VI"表示"6","DC"表示" 600".一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号, 就表示大数字减去小数字的数目,如"IV"表示"4","XL" 表示"40","VD"表示"495". 3．上加横线：在罗马数字上加一横线,表示这个数字的一千倍. 如：""表示 "15,000",""表示"165,000". 我国古代也很重视记数符号, 最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号,不过难写难认, 后人没有沿用.到春秋战国时期,生产迅速发展,适应这一需要, 我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算. 筹算用的算筹是竹制的小棍,也有骨制的. 按规定的横竖长短顺序摆好,就可用来记数和进行运算. 随着筹算的普及,算筹的摆法也就成为记数的符号了. 算筹摆法有横纵两式,都能表示同样的数字. 从算筹数码中没有"10"这个数可以清楚地看出, 筹算从一开始就严格遵循十位进制.9位以上的数就要进一位. 同一个数字放在百位上就是几百,放在万位上就是几万. 这样的计算法在当时是很先进的. 因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末. 但筹算数码中开始没有"零",遇到"零"就空位.比如" 6708",就可以表示为"┴╥ ".数字中没有"零",是很容易发生错误的. 所以后来有人把铜钱摆在空位上,以免弄错,这或许与"零" 的出现有关.不过多数人认为,"0" 这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人. 他们最早用黑点（·）表示零,后来逐渐变成了"0". 说起"0"的出现,应该指出,我国古代文字中,"零" 字出现很早.不过那时它不表示"空无所有",而只表示"零碎"、 "不多"的意思.如"零头"、"零星"、"零丁"."一百零五" 的意思是：在一百之外,还有一个零头五.随着阿拉数字的引进." 105"恰恰读作"一百零五","零"字与"0"恰好对应," 零"也就具有了"0"的含义. 如果你细心观察的话,会发现罗马数字中没有"0". 其实在公元5世纪时,"0"已经传入罗马. 但罗马教皇凶残而且守旧.他不允许任何使用"0". 有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用"0"的一些好处和说明, 就被教皇召去,施行了拶（zǎn）刑,使他再也不能握笔写字. 但"0"的出现,谁也阻挡不住.现在,"0" 已经成为含义最丰富的数字符号."0"可以表示没有, 也可以表示有.如：气温0℃,并不是说没有气温；"0" 是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的0次幂等于1； 0!=1（零的阶乘等于1）. 除了十进制以外,在数学萌芽的早期,还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法.在长期实际生活的应用中, 十进制最终占了上风. 现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0, 人们称之为阿拉伯数字.实际上它们是古代印度人最早使用的. 后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去, 又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲, 逐渐演变成今天的阿拉伯数字. 数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果. 随着生产、生活的需要,人们发现, 仅仅能表示自然数是远远不行的.如果分配猎获物时, 5个人分4件东西,每个人人该得多少呢?于是分数就产生了. 中国对分数的研究比欧洲早1400多年!自然数、分数和零, 通称为算术数.自然数也称为正整数. 随着社会的发展,人们又发现很多数量具有相反的意义, 比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西. 为了表示这样的量,又产生了负数.正整数、负整数和零, 统称为整数.如果再加上正分数和负分数,就统称为有理数. 有了这些数字表示法,人们计算起来感到方便多了. 但是,在数字的发展过程中,一件不愉快的事发生了. 让我们回到大经贸部2500年前的希腊, 那里有一个毕达哥拉斯学派,是一个研究数学、科学和哲学的团体. 他们认为"数"是万物的本源,支配整个自然界和人类社会. 因此世间一切事物都可归结为数或数的比例, 这是世界所以美好和谐的源泉.他们所说的数是指整数. 分数的出现,使"数"不那样完整了. 但分数都可以写成两个整数之比,所以他们的信仰没有动摇. 但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时, 发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它. 如果设这个数为X,既然,推导的结果即x2=2. 他画了一个边长为1的正方形,设对角线为x ,根据勾股定理x2=12+12=2, 可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数, 这个数肯定是存在的.可它是多少?又该怎样表示它呢? 希帕索斯等人百思不得其解,最后认定这是一个从未见过的新数. 这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊, 动摇了他们哲学思想的核心. 为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌, 他们规定对新数的发现要严守秘密. 而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去. 据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼.然而真理是藏不住的. 人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数,如圆周率就是最重要的一个.人们把它们写成 π、等形式,称它们为无理数. 有理数和无理数一起统称为实数. 在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度.这时人类的历史已进入19世纪. 许多人认为数学成就已经登峰造极, 数字的形式也不会有什么新的发现了. 但在解方程的时候常常需要开平方如果被开方数负数, 这道题还有解吗?如果没有解, 那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁. 于是数学家们就规定用符号"i "表示"-1"的平方根,即i＝,虚数就这样诞生了."i "成了虚数的单位.后人将实数和虚数结合起来,写成 a＋bi的形式（a、b均为实数）,这就是复数. 在很长一段时间里, 人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量, 所以虚数总让人感到虚无缥缈.随着科学的发展, 虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用, 在掌握和会使用虚数的科学家眼中,虚数一点也不"虚"了. 数的概念发展到虚和复数以后,在很长一段时间内, 连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了, 数学家族的成员已经都到齐了.可是1843年10月16日, 英国数学家哈密尔顿又提出了"四元数"的概念.所谓四元数, 就是一种形如的数.它是由一个标量（实数）和一个向量（其中x 、y 、z 为实数）组成的.四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用.与此同时, 人们还开展了对"多元数"理论的研究. 多元数已超出了复数的范畴,人们称其为超复数. 由于科学技术发展的需要,向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生,把数学研究推向新的高峰. 这些概念也都应列入数字计算的范畴,但若归入超复数中不太合适, 所以,人们将复数和超复数称为狭义数,把向量、张量、矩阿等概念称为广义数.尽管人们对数的归类法还有某些分歧, 但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的. 到目前为止,数的家庭已发展得十分庞大.

例5：数字产生的历程有急用![数学练习题]

思路提示：

罗马数字

罗马数字是一种现在应用较少的一种的数量表示方式.它的产生晚于中国甲骨文中的数码,更晚于埃及人的十进位数字.但是,它的产生标志着一种古代文明的进步.大约在两千五百年前,罗马人还处在文化发展的初期,当时他们用手指作为计算工具.为了表示一、二、三、四个物体,就分别伸出一、二、三、四个手指；表示五个物体就伸出一只手；表示十个物体就伸出两只手.这种习惯人类一直沿用到今天.人们在交谈中,往往就是运用这样的手势来表示数字的.当时,罗马人为了记录这些数字,便在羊皮上画出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ来代替手指的数；要表示一只手时,就写成“Ⅴ”形,表示大指与食指张开的形状；表示两只手时,就画成“ⅤⅤ”形,后来又写成一只手向上,一只手向下的“Ⅹ”,这就是罗马数字的雏形.

后来为了表示较大的数,罗马人用符号C表示一百.C是拉丁字“century”的头一个字母,century就是一百的意思.用符号M表示一千.M是拉丁字“mille”的头一个字母,mille就是一千的意思.取字母C的一半,成为符号L,表示五十.用字母D表示五百.若在数的上面画一横线,这个数就扩大一千倍.这样,罗马数字就有下面七个基本符号：Ⅰ（1）Ⅴ（5）Ⅹ（10）L（50）C（100）D（500）M（1000）

罗马数字与十进位数字的意义不同,它没有表示零的数字,与进位制无关.用罗马数字表示数的基本方法一般是把若干个罗马数字写成一列,它表示的数等于各个数字所表示的数相加的和.但是也有例外,当符号Ⅰ、Ⅹ或C位于大数的后面时就作为加数；位于大数的前面就作为减数.例如：Ⅲ=3,Ⅳ=4,Ⅵ=6,ⅩⅨ=19,ⅩⅩ=20,ⅩLⅤ=45,MCMⅩⅩC=1980.罗马数字因书写繁难,所以,后人很少采用.现在有的钟表表面仍有用它表示时数的.此外,在书稿章节及科学分类时也有采用罗马数字的.

在阅读英文原著时,常会遇到用罗马数字表示的章节,对于有些读者可能不知其含义.在此简要介绍罗马数字的构成规则,以扫除阅读中的疑惑.

一、七个基本数字

I ：1

V：5

X：10

L：50

C ：100

D：500

M：1000

二、构成规则

罗马数字无表示零的数.

表示数的基本方法：除I、X、C位于大数后作为加数,位于大数前作为减数外,一般把若干罗马基本数字写在一起,它表示的数字等于各个数字的和.

1.重写： III（3） XX（20） CC（200）

2.左减： IX（9） XL（40） CD（400）

3.右加： VII（7） XI（11） LX（60）

4.综合前三种方法：XLV（L-X+V,45） LXII（L+X+I+I,62）

若在数字上方加一横线,表示增大1000倍.

XIX （19000）

三、注意点

1. I、X、C在大数右边（即相加时）不能连续超过三个,在大数左边（即相减时）只能用一个.

2. V、L、D不能用于大数左边（相减）,只能用于大数右边（相加）,且只使用一个.

3. V、X左边小数只用I；L、C左边小数只用X；D、M左边小数只用C.

罗马数字因书写复杂,现在应用面很小.有的钟表用它表示时数,小说、文章的章节及科学分类时也有用罗马数字的.

例子：

I, 1

II, 2

III, 3

IV, 4

V, 5

VI, 6

VII, 7

VIII, 8

IX, 9

X, 10

XI, 11

XII, 12

XIII, 13

XIV, 14

XV, 15

XVI, 16

XVII, 17

XVIII, 18

XIX, 19

XX, 20

XXI, 21

XXII, 22

XXV, 25

XXIX, 29

XXX, 30

XXXI, 31

XXXIV, 34

XXXV, 35

XXXIX, 39

XL, 40

L, 50

LI, 51

LV, 55

LX, 60

LXV, 65

LXX, 70

LXXX, 80

XC, 90

XCIII, 93

XCV, 95

XCVIII, 98

IC, 99

C, 100

CC, 200

CCC, 300

CD, 400

D, 500

DC, 600

DCC, 700

DCCC, 800

CM, 900

M, 1000

MC, 1100

MCD, 1400

MD, 1500

MDC, 1600

MDCLXVI, 1666

MDCCCLXXXVIII, 1888

MDCCCXCIX, 1899

MCM, 1900

MCMLXXVI, 1976

MCMLXXXIV, 1984

MCMXC, 1990

MM, 2000

总述一.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码.罗马数字采用七个罗马字母作数字,即Ⅰ(1)、X(10)、C (100)、M (1000),V (5)、L(50)、D (500).记数的方法:(1)相同的数字连写,所表示的数等于这些数字相加得到的数,如, Ⅲ = 3；(2)小的数字在大的数字的右边,所表示的数等于这些数字相加得到的数, 如,Ⅷ = 8,Ⅻ = 12；(3)小的数字,(限于Ⅰ、X 和 C)在大的数字的左边,所表示的数等于大数减小数得到的数,如,Ⅳ = 4,Ⅸ = 9；(4)在一个数的上面画一条横线,表示这个数增值 1 000 倍,如 Ⅻ = 12 000 .罗马数字的组数规则,有几条须注意掌握；(1)基本数字Ⅰ、X 、C 中的任何一个,自身连用构成数目,或者放在大数的右边连用构成数目,都不能超过三个；放在大数的左边只能用一个.(2)不能把基本数字 V 、L 、D 中的任何一个作为小数放在大数的左边采用相减的方法构成数目；放在大数的右边采用相加的方式构成数目,只能使用一个.(3)V 和 X 左边的小数字只能用Ⅰ.(4)L 和 C 左边的小数字只能用×.(5)D 和 M 左边的小数字只能用 C .用罗马数字记较大的数非常麻烦, 所以已不常用了.在中文出版物中,罗马数字主要用于某些代码,如产品型号等.计算机 ASCⅡ码收录有合体的罗马数字 1～12 .

总述二.罗马数字

总述三.罗马数字

罗马数字起源于古罗马.一共有7个数字符号：IVXLCDM.相应的阿拉伯数字表示为：1510501005001000用罗马数字表示数时,如果几个相同的数字并列,就表示这个数的值是数码的几倍.倒如：罗马数字要表示3,可以写成III;要表示20,可以写成XX；要表示30,可写成XXX.不相同的几个数码并列时,如果小的数码在右边,就表示数的数值是这几个数码的和；如果小的数码在基边,就表示数的数值是数码之差.例如：6用罗马数字可以表示为VI；4用罗马数字表示为IV；11用罗马数字表示为XI；48用罗马数字表示为IIL.在数字上面画一横线,表示这个数字增值1000倍.例如：10000写成X;11000写成XI.遗憾的是,罗马数字里没有0.这种记数法有很大不便.如果表示8732这个数,那么就得写成IIXDCCXXXII如果要有0就方便多了.0引入的时间是在中世纪,那时欧洲教会的势力非常强大,他们千方百计地阻止0的传播,甚至有人为了传播0而被处死.但是黑暗终究战胜不了光明,人们一旦意识到0的重要作用,就会不顾一切地冲破教会的束缚,大胆地使用起它来.

阿拉伯数字

古代印度人发明了包括“零”在内的十个数字符号,还发明了现在一般通用的定位计数的十进位法.由于定位计数,同一个数字符号因其所在位置不同,就可以表示不同数值.如果某一位没有数字,则在该位上写上“0”.“0”的应用,使十进位法臻于完善,意义重大.十个数字符号后来由阿拉伯人传人欧洲,被欧洲人误称为阿拉伯数字.由于采用计数的十进位法,加上阿拉伯数字本身笔划简单,写起来方便,看起来清楚,特别是用来笔算时,演算很便利.因此随着历史的发展,阿拉伯数字逐渐在各国流行起来,成为世界各国通用的数字.由柳洪平创建.

补充

最古的计数目大概至多到3,为了要设想“4”这个数字,就必须把2和2加起来,5是2加2加1,3这个数字是2加1得来的,大概较晚才出现了用手写的五指表示5这个数字和用双手的士指表示10这个数字.这个原则实际也是我们计算的基础.罗马的计数只有到V（即5）的数字,X（即10）以内的数字则由V（5）和其它数字组合起来.X是两个V的组合,同一数字符号根据它与其他数字符号位置关系而具有不同的量.这样就开始有了数字位置的概念,在数学上这个重要的贡献应归于两河流域的古代居民,后来古鳊人在这个基础上加以改进,并发明了表达数字的1234567890十个符号,这就成为我们今天记数的基础.八世纪印度出现了有零的符号的最老的刻版记录.当时称零为首那.

数字

解释一：表示数目的文字.

解释二：表示数目的符号.

解释三：数量的意思.

以下是有关阿拉伯数字的说明,有兴趣的可以详细阅读.

数字,是一种既陌生、又熟悉的名词.他由0~9十个字母组成.数字不单单包括计数,还有丰富的哲学内涵.

1：可以看作是数字“1”,一根棍子,一个拐杖,一把竖立的枪,一支蜡烛,一维空间……

2：可以看作是数字“2”,一只木马,一个下跪着的人,一个陡坡,一个滑梯……

3：可以看作是数字“3”,两只手指,乳房,斗鸡眼,树杈……

4：可以看作是数字“4”,一个蹲着的人,小帆船,小红旗,小刀……

5：可以看作是数字“5”,大肚子,小屁股,音符……

6：可以看作是数字“6”,小蝌蚪,一个头和一只手臂露在外面的人……