单摆周期
周舟 2018年05月09日发布
概括：这道题是徐奥了同学的课后物理练习题，主要是关于单摆周期，指导老师为匡老师。用一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线悬挂一个质点，在重力作用下在铅垂平面内作周期运动，就成为单摆。单摆在摆角小于5°(现在一般认为是小于10°)的条件下振动时，可近似认为是简谐运动。单摆运动的周期公式：T=2π√(L/g).其中L指摆长，g是当地重力加速度。
题目：单摆周期
解：单摆的周期公式是 T=2π√(L/g) ,只与摆长和当地的重力加速度有关,与摆长的平方根成正比,与当地重力加速度的平方根成反比.
这个公式T=2π√(L/g)是根据弹簧振子的周期公式T=2π√(m/k)
推导出来的,因为单摆做简谐运动时的比例系数(F=-kx中的k)k=mg/L代入T=2π√(m/k)即得T=2π√(L/g).
证明：
摆球的摆动轨迹是一个圆弧.设摆角(摆球偏离竖直方向的角度)为θ,则摆球的重力mg沿此圆弧的切线方向的分力为mgsinθ.设摆球偏离平衡位置的位移为x、摆长为l,则当摆角很小时,可以认为sinθ=x/l.所以,单摆的回复力为F=-mgx/l.
对于系统而言,m、g、l均为定值,故可认为k=mg/l,则F=-kx.
因此在单摆很小的情况下,单摆做简谐运动.
将k=mg/l代入ω=√(k/m)可得ω=√(g/l).由T=2π/ω可得单摆周期公式
T=2π√(l/g).
举一反三
例1： 单摆的周期是指[物理练习题]
思路提示：单摆的周期是指摆球由某一位置开始运动后经过一个往复运动回到初始点时所花费的时间.
例2： 类单摆运动的周期怎么求?如图所示,AB为半径R约为2m的一段光滑圆弧面,AB两点在同一水平面上,且AB弧长为10cm,将小球从A点释放,则它运动到B点所用的时间是[物理练习题]
思路提示：
这个东西我们把它看成单摆.
光滑弧面看成单摆的运动轨迹
圆的半径看成线的长度
则T=2π√(l/g)
带入得到T=2π√(1/5)
那么从a到b一共是半个周期 是π√(1/5)
例3： 关于单摆周期的题在一条长为L的轻绳下悬挂着一球型沙筒,筒内装满了沙,现使其作单摆运动,小筒最底部有一小孔,在摆动时有沙慢慢从筒中漏出.则此摆的周期会怎样变化?我知道一开始由于重[物理练习题]
思路提示：如果按照这个答案的话 那就要想一下沙漏的质量问题了
先简单的来说
先变大是因为沙子漏出去 重心降低 摆长增长
后变小是因为沙子漏出去的最后一秒 整个沙子都漏没了 重心又回到几何的中心 摆长恢复原来的
如果想要深度讨论的话（超出高考范围）
如果沙漏质量不记的话 只要沙漏里面有一粒沙子在 那么摆长就将为L+沙漏直径
在理想状态下,当沙漏的最后一粒沙子掉出去的一刹那 由于沙漏质量不记 摆长变为L 但是初始的摆长应该是L+沙漏半径的 所以这个假设不成立
如果沙漏质量计算 设置为m 里面的沙子设置为M 就要用极限的方式解决这个问题了
如果m远远大于M 那么沙子的变化几乎可以不用考虑 周期是不会改变的 因为沙子质量太小 不会影响到摆长得变化 但是这样跟答案就不相符了
如果m远远小于M 那么沙子就会在落完之后的一刹那变回到原来的周期 摆长仍然为L+沙漏的半径 和答案相同
也就是说这个问题要在沙漏有质量 且沙漏的质量远远小于沙子的质量的前提下,才能推出现在的答案
当然这个也是高考中潜在的前提
明白了么?
例4： 请问有谁知道推单摆周期的公式（当角位移大于5度时）,[数学练习题]
思路提示：单摆的周期公式为：T=2π(l/g)^0.5*(1+1/4*(sin(θ/2))^2+9/64*(sin(θ/2))^4+...)
当摆角θ<5度时,(sin(θ/2))^2近似等于0,单摆周期可近似表示为T=2π(l/g)^0.5
例5： 什么是单摆周期[物理练习题]
思路提示：单摆来回振动一次所要的时间
相关思考练习题：
题1：单摆运动的周期怎么算
点拨：单摆完成一个全振动就是一个周期.如从单摆摆动的最大位移点开始计算,则摆球再次回到这点,就是一个周期.如从中间的任意一点开始计算,则摆球第二次回到这一点,是一个周期.
题2：下列说法中正确的是 （ ）A．伽利略发现了单摆...
点拨：A、伽利略发现了单摆的等时性，惠更斯给出了单摆的周期公式，故A错误；B、法拉第提出了用电场线这种假想的曲线形象地描述电场；故B错误；C、库仑利用类比的方法，得出了两个点电荷间作用力的规律--库仑定律；故C正确；D、相对论提出光速是自然界...
题3：首先发现单摆等时性和得出单摆周期公式的科学家分...
点拨：意大利科学家伽利略最早发现了摆的等时性原理．后来惠更斯得出了单摆的周期公式．故D正确，A、B、C错误．故选：D．
题4：单摆实验 测单摆周期时,为什么选择最低点开始计时?
点拨：选最低点方便观察记录。选了最低点可以很容易地确定什么时候完成了一个周期的摆动，只要看到第二次回到最低点就说明是一个周期；而如果选了其他点，就凭肉眼不容易判断，是不是再次回到了原位置，会有较大误差。选最高点也不可以，虽然理论上最...
题5：请问空气阻力会使单摆周期变长还是变短？为什么？
点拨：不变，相互抵消的，阻止单摆到高点，假设缩短了时间，阻止其回到中点则是增加了时间，假设在左侧产生时间差，一定会在右侧补回来
